Perkalian vektor dan skalar menggunakan komponen vektor satuan

Vektor satuan

Sebelum kita belajar mengenai perkalian vektor, terlebih dahulu kita berkenalan dengan vektor-vektor satuan.

Vektor satuan (unit vektor) merupakan suatu vektor yang besarnya = 1. vektor satuan tidak mempunyai satuan. Vektor satuan berfungsi untuk menunjukan suatu arah dalam ruang. Untuk membedakan vektor satuan dari vektor biasa maka vektor satuan dicetak tebal (untuk tulisan cetak) atau di atas vektor satuan disisipkan tanda ^ (untuk tulisan tangan)

Pada sistem koordinat kartesius (xyz) kita menggunakan vektor satuan  i untuk menunjukkan arah sumbu x positif, vektor satuan j untuk menunjukkan arah sumbu y positif, vektor satuan k untuk menunjukkan arah sumbu y positif.

Untuk memudahkan pemahaman dirimu, perhatikan contoh berikut ini. Misalnya terdapat sebuah vektor F sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

Pada gambar di atas, tampak bahwa vektor satuan i menunjukkan arah sumbu x positif dan vektor satuan j menunjukkan arah sumbu y positif. Kita dapat menyatakan hubungan antara vektor komponen dan komponenya masing-masing, sebagai berikut :

F_x = F_xi

F_y = F_yj

Kita dapat menulis vektor F dalam komponen-komponennya sebagai berikut :

F = F_xi + F_yj

Misalnya terdapat dua vektor, A dan B pada sistem koordinat xy, di mana kedua vektor ini dinyatakan dalam komponen-komponennya, sebagaimana tampak di bawah :

A = A_xi + A_yj

B = B_xi + B_yj

Bagaimana jika A dan B dijumlahkan ? gampang…

R = A + B

R = (A_xi + A_yj) + (B_xi + B_yj)

R = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j

R = R_xi + R_yj

Apabila tidak semua vektor berada pada bidang xy maka kita bisa menambahkan vektor satuan k, yang menunjukkan arah sumbu z positif.

A = A_xi + A_yj + A_zk

B = B_xi + B_yj + B_zk

Jika vektor A dan B dijumlahkan maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :

R = A + B

R = (A_xi + A_yj + A_zk) + (B_xi + B_yj + B_zk)

R = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j + (A_z + B_z)k

R = R_xi + R_yj + R_zk

Dibaca perlahan-lahan. Jika belum dipahami, diulangi lagi…….

Perkalian titik menggunakan komponen vektor satuan

Kita dapat menghitung perkalian skalar secara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z dari vektor A dan B (vektor yang diketahui).

Untuk melakukan perkalian titik dengan cara ini, terlebih dahulu kita lakukan perkalian titik dari vektor satuan, setelah itu kita nyatakan vektor A dan Bdalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

Vektor satuaj i, j dan k saling tegak lurus satu sama lain, sehingga memudahkan kita dalam perhitungan. Menggunakan persamaan perkalian skalar yang telah diturunkan di atas (A.B = AB cos teta) kita peroleh :

i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1

i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90^o = 0

Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

A . B = A_xi . B_xi + A_xi . B_yj + A_xi . B_zk +

A_yj . B_xi + A_yj . B_yj + A_yj . B_zk +

A_zk . B_xi + A_zk . B_yj + A_zk . B_zk

A . B = A_xB_x (i . i) + A_xB_y (i . j) + A_x B_z (i . k) +

A_yB_x (j . i) + A_yB_y (j . j) + A_yB_z (j . k) +

A_zB_x (k . i) + A_zB_y (k . j) + A_zB_z (k . k)

Bahasa apa’an neh… dipahami perlahan-lahan ya….

Karena i . i = j . j = k . k = 1 dan i . j = i . k = j . k = 0, maka :

A . B = A_xB_x (1) + A_xB_y (0) + A_x B_z (0) +

A_yB_x (0) + A_yB_y (1) + A_yB_z (0) +

A_zB_x (0) + A_zB_y (0) + A_zB_z (1)

A . B = A_xB_x (1) + 0 + 0 +

0 + A_yB_y (1) + 0 +

0 + 0 + A_zB_z (1)

A . B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

Berdasarkan hasil perhitungan ini, bisa disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponennya yang sejenis.

Gampang khaen ? dipahami perlahan-lahan… ntar juga ngerti kok… kaya belajar naek sepeda agar dirimu semakin memahami bahasa alien di atas, mari kita kerjakan latihan soal di bawah ini

Contoh Soal 1 :

Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90^o. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut…

Panduan jawaban :

Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.

A_x = (5) cos 0^o = (5) (1) = 5

A_y = (5) sin 0^o = (5) (0) = 0

A_z = 0

B_x = (4) cos 90^o = (4) (0) = 0

B_y = (4) sin 90^o = (4) (1) = 4

B_z = 0

Vektor A hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektor Bhanya mempunyai komponen vektor pada sumbu y. Komponen z bernilai nol karena vektor A dan B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

A . B = A_x B_x + A_yB_y + A_zB_z

A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0

A . B = 0 + 0 + 0

A . B = 0

Masa sich hasilnya nol ?

Coba kita bandingkan dengan cara pertama

A.B = AB cos teta

A.B = (4)(5) cos 90

A.B = (4) (5) (0)

A.B = 0

Hasilnya sama to ? he2… guampang banget…

Contoh Soal 2 :

Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30^o

Panduan jawaban :

Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.

Komponen z bernilai nol karena vektor A dan B berada pada bidang xy.

Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

Coba kita bandingkan dengan cara pertama.

Hasilnya sama to ? guampang…. 

Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuan

Kita dapat menghitung perkalian silang secara langsung jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Urutannya sama dengan perkalian titik.

Pertama-tama, kita lakukan perkalian antara vektor-vektor satuan i, j dan k. Hasil perkalian vektor antara vektor satuan yang sama adalah nol.

i x i = j x j = k x k = 0

Dengan berpedoman pada persamaan perkalian vektor yang telah diturunkan sebelumnya (A x B = AB sin teta) dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor (A x B = – B x A), maka kita peroleh :

i x j = -j x i = k

j x k = -k x j = i

k x i = -i x k = j

Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

A x B = (A_xi + A_yj + A_zk) x (B_xi + B_yj + B_zk)

A x B = A_xi x B_xi + A_xi x B_yj + A_xi x B_zk +

A_yj x B_xi + A_yj x B_yj + A_yj x B_zk +

A_zk x B_xi + A_zk x B_yj + A_zk x B_zk

A x B = A_xB_x (i x i) + A_xB_y (i x j) + A_x B_z (i x k) +

A_yB_x (j x i) + A_yB_y (j x j) + A_yB_z (j x k) +

A_zB_x (k x i) + A_zB_y (k x j) + A_zB_z (k x k)

Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k,  j x k = -k x j = i, k x i = -i xk = j, maka :

A x B = A_xB_x (0) + A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A_yB_x (-k) + A_yB_y (0) + A_yB_z (i) +

A_zB_x (j) + A_zB_y (-i) + A_zB_z (0)

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A_yB_x (-k) + A_yB_z (i) +

A_zB_x (j) + A_zB_y (-i)

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) + A_yB_x (-k) + A_yB_z (i) + A_zB_x (j) + A_zB_y (-i)

A x B = (A_yB_z - A_zB_y)i + (A_zB_x - A_x B_z)j + (A_xB_y - A_yB_x )k

Pahami perlahan-lahan….

Jika C = A x B maka komponen-komponen dari C adalah sebagai berikut :

C_x = A_yB_z - A_zB_y

C_y = A_zB_x - A_x B_z

C_z = A_xB_y - A_yB_x

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Kanginan, Marthen, 2000, Fisika 2000, SMU kelas 1, Caturwulan 2, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan),Jakarta : Penerbit Erlangga