Perkalian vektor dan skalar menggunakan komponen vektor satuan

Written By Juhernaidi on Sabtu, 10 September 2011 | 2:39:00 PM


Vektor satuan
Sebelum kita belajar mengenai perkalian vektor, terlebih dahulu kita berkenalan dengan vektor-vektor satuan.
Vektor satuan (unit vektor) merupakan suatu vektor yang besarnya = 1. vektor satuan tidak mempunyai satuan. Vektor satuan berfungsi untuk menunjukan suatu arah dalam ruang. Untuk membedakan vektor satuan dari vektor biasa maka vektor satuan dicetak tebal (untuk tulisan cetak) atau di atas vektor satuan disisipkan tanda ^ (untuk tulisan tangan)
Pada sistem koordinat kartesius (xyz) kita menggunakan vektor satuan  i untuk menunjukkan arah sumbu x positif, vektor satuan untuk menunjukkan arah sumbu y positif, vektor satuan k untuk menunjukkan arah sumbu y positif.
Untuk memudahkan pemahaman dirimu, perhatikan contoh berikut ini. Misalnya terdapat sebuah vektor F sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
vektor-ohvektor

Pada gambar di atas, tampak bahwa vektor satuan i menunjukkan arah sumbu x positif dan vektor satuan j menunjukkan arah sumbu y positif. Kita dapat menyatakan hubungan antara vektor komponen dan komponenya masing-masing, sebagai berikut :
Fx = Fxi
Fy = Fyj
Kita dapat menulis vektor F dalam komponen-komponennya sebagai berikut :
F = Fxi + Fyj
Misalnya terdapat dua vektor, A dan B pada sistem koordinat xy, di mana kedua vektor ini dinyatakan dalam komponen-komponennya, sebagaimana tampak di bawah :
A = Axi + Ayj
BxByj
Bagaimana jika A dan B dijumlahkan ? gampang…
R = A + B
R = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj)
R = (Ax Bx)i + (Ay By)j
R = RxRyj
Apabila tidak semua vektor berada pada bidang xy maka kita bisa menambahkan vektor satuan k, yang menunjukkan arah sumbu z positif.
A = Axi + Ayj + Azk
Bxi + Byj + Bzk
Jika vektor A dan B dijumlahkan maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :
A + B
= (Axi + AyAzk) + (Bxi + Byj + Bzk)
= (Ax + Bx)+ (ABy)j + (Az Bz)k
RxRyj + Rzk
Dibaca perlahan-lahan. Jika belum dipahami, diulangi lagi…….


Perkalian titik menggunakan komponen vektor satuan
Kita dapat menghitung perkalian skalar secara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z dari vektor A dan (vektor yang diketahui).
Untuk melakukan perkalian titik dengan cara ini, terlebih dahulu kita lakukan perkalian titik dari vektor satuan, setelah itu kita nyatakan vektor A dan Bdalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
Vektor satuaj ij dan k saling tegak lurus satu sama lain, sehingga memudahkan kita dalam perhitungan. Menggunakan persamaan perkalian skalar yang telah diturunkan di atas (A.B = AB cos teta) kita peroleh :
i . i = j . j k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90o = 0

Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
A . B = Ax. Bxi + AxByAxBz+
Ay. Bxi + AyByAyBz+
Az. Bxi + AzByAzBzk
A . B = AxB(. i) + AxBy (. j) + ABz (. k) +
AyB(. i) + AyBy (. j) + AyB(. k) +
AzB(. i) + AzB(. j) AzB(. k)
Bahasa apa’an neh… dipahami perlahan-lahan ya….
Karena i = k = 1 dan k = 0, maka :
A . B = AxB(1) + AxBy (0) + ABz (0) +
AyB(0) + AyBy (1) + AyB(0) +
AzB(0) + AzB(0) AzB(1)
A . B = AxB(1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0 + 0 + AzB(1)
A . B = AxBAyBy + AzBz
Berdasarkan hasil perhitungan ini, bisa disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponennya yang sejenis.
Gampang khaen ? dipahami perlahan-lahan… ntar juga ngerti kok… kaya belajar naek sepeda agar dirimu semakin memahami bahasa alien di atas, mari kita kerjakan latihan soal di bawah ini

Contoh Soal 1 :
Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90o. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut…
perkalian titik dan silang-15
Panduan jawaban :
Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) sin 0o = (5) (0) = 0
A= 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) sin 90o = (4) (1) = 4
B= 0
Vektor A hanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektor Bhanya mempunyai komponen vektor pada sumbu y. Komponen z bernilai nol karena vektor A dan berada pada bidang xy.
Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :
A . B = ABx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A . B = 0 + 0 + 0
A . B = 0
Masa sich hasilnya nol ?
Coba kita bandingkan dengan cara pertama
A.B = AB cos teta
A.B = (4)(5) cos 90
A.B = (4) (5) (0)
A.B = 0
Hasilnya sama to ? he2… guampang banget…

Contoh Soal 2 :
Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30o
perkalian titik dan silang-16
Panduan jawaban :
Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.
perkalian titik dan silang-17
Komponen z bernilai nol karena vektor A dan berada pada bidang xy.
Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektor A dan B menggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :
perkalian titik dan silang-18
Coba kita bandingkan dengan cara pertama.
perkalian titik dan silang-19
Hasilnya sama to ? guampang…. ;)



Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuan
Kita dapat menghitung perkalian silang secara langsung jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Urutannya sama dengan perkalian titik.
Pertama-tama, kita lakukan perkalian antara vektor-vektor satuan idan k. Hasil perkalian vektor antara vektor satuan yang sama adalah nol.
i x i = j x j = k x k = 0
Dengan berpedoman pada persamaan perkalian vektor yang telah diturunkan sebelumnya (A x B = AB sin teta) dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor (x B = – x A), maka kita peroleh :
-j x i = k
-k x j = i
i = -k = j
Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.
B = (AxAyj + Azk) x (Bxi + ByBzk)
AxBxi + AxByAxBz+
Ayx Bxi + AyByAyBz+
Azx Bxi + AzByAzBzk
AxB(x i) + AxBy (x j) + ABz (x k) +
AyB(x i) + AyBy (x j) + AyB(x k) +
AzB(x i) + AzB(x j) AzB(x k)
Karena i = k = dan j = -j x i = k,  x k = -k x i, k x i = -i xj, maka :
A x B = AxB(0) + AxBy (k) + ABz (-j) +
AyB(-k) + AyBy (0) + AyB(i) +
AzB(j) + AzB(-iAzB(0)
A x B = AxBy (k) + ABz (-j) +
AyB(-k) + AyB(i) +
AzB(j) + AzB(-i)
A x B = AxBy (k) + ABz (-j) + AyB(-k) + AyB(i) + AzB(j) + AzB(-i)
A x B = (AyBAzBy)i + (AzBx ABz)j + (AxBy AyB)k
Pahami perlahan-lahan….

Jika C = A x B maka komponen-komponen dari C adalah sebagai berikut :
Cx = AyBAzBy
Cy AzBx ABz
Cz = AxBy AyBx



Referensi :
Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga
Kanginan, Marthen, 2000, Fisika 2000, SMU kelas 1, Caturwulan 2, Jakarta : Penerbit Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan),Jakarta : Penerbit Erlangga

Simulasi Jangka Sorong